¿Qué es medición? (PARTEII)

La medición, en líneas generales, es comparar la medida de una cosa con la medida de otra. Para esto, se deben asignar distintos valores numéricos o dimensiones a uno varios objetos utilizando diferentes procedimientos.

La medición, entonces, es un proceso básico que consiste en comparar un patrón elegido con otro objeto o fenómeno que tenga una magnitud física igual a éste para poder así calcular cuántas veces el patrón está contenido en esa magnitud en especial. Sin embargo, esta acción que parece tan simple de calcular, se dificulta cuando lo que se desea medir y expresar numéricamente es un poco más intangible o incluso evanescente.

¿Cómo debe ser el proceso?

El proceso de medición tiene como fin distinguir objetos, fenómenos o casos para luego poder clasificarlos. Para que sea válido, este proceso debe responder algunos requisitos y principios. En primer lugar, debe ser válido. Es decir, deben existir maneras de demostrar la manera en la que se realiza la medición.

Además, el proceso de medición debe ser fiable, se debe aplicar con repetición en varios casos y que proporcione siempre los mismos -o parecidos- resultados. Por último, es necesario el proceso de la precisión, esto quiere decir que la medida deberá ser precisa cuando se pueda localizar con total exactitud en relación con el propósito que se quiere obtener.

Tipos de medición

Existen distintos tipos de medición y los desarrollaremos a continuación:

Medición directa: Podemos obtener este tipo de medida al utilizar un instrumento de medición que sea capaz de comparar la variable que se va a medir con un determinado patrón. En este tipo de medición se deben comparar dos objetos que posean la misma característica. Es decir, si utilizamos un calibrador, se calculará la longitud de un objeto en comparación a la longitud establecida en el mismo. Otro claro ejemplo de esto es si medimos la frecuencia de un objeto con la frecuencia de un estroboscopio.

Medidas reproducibles: Son aquellas en las que se puede obtener siempre el mismo resultado si es que se logran efectuar una serie de comparaciones entre la misma variable y el aparato para medir utilizado. Son procedimientos que no destruyen ni producen ninguna alteración importante en el sujeto que se encuentra en medición. Por ejemplo, si se mide varias veces el mismo lado de una cama, los resultados serán siempre iguales.

Medición estadística: Ocurre cuando se obtienen distintos resultados a la vez, aunque se realicen varias comparaciones entre la misma variable y el mismo aparato de medida seleccionado. Si se desea comparar la cantidad de personas que leen un determinado periódico, a pesar de que cada día el número sea distinto, igualmente se podrá alcanzar un resultado que será el valor medio o anual.

Medición indirecta: No siempre se pueden calcular las medidas entre variables de manera directa, ya sea por su tamaño, naturaleza o por otros posibles obstáculos. Es por esta razón que la medición indirecta ocurre cuando se calcula la medición deseada calculando una o más magnitudes diferentes para luego poder calcular la magnitud deseada al calcular la magnitud o magnitudes calculadas de manera directa.

No obstante, no siempre los resultados son satisfactorios ya que pueden ocurrir distintos tipos de errores a la hora de realizar una medición. Según la ocurrencia de errores, se pueden distinguir los errores sistemáticos o los errores aleatorios. En cambio, si nos referimos a la cuantificación de errores, podemos encontrar errores absolutos o errores relativos. (serán desarrollados en otras publicaciones)

Referencias

Enciclopedia de Conceptos (2018). "Medición". Recuperado de: https://concepto.de/medicion/

PARA REFLEXIONAR Y RESOLVER EN TU CUADERNO.

1- Imagina que te piden determinar cuántos granos de arroz hay en un paquete de un kilogramo. Diseña un experimento paso a paso en el cual puedas calcular la cantidad de granos exacta. Recuerda aplicar el método científico.

2- Plantea las ventajas y desventajas de tu método para determinar la cantidad de granos y además elabora un diagrama de flujo o un mapa conceptual.

VER La escopeta de feria (PARTEIII)

Medir: origen de muchos conceptos matemáticos [GE] (PARTEI)

 Desde sus orígenes el hombre necesitó comparar objetos o eventos (cantidad de animales para comerciar, las estaciones del año, la temperatura, etc.). Su primer resultado fue la creación del concepto de número en el cual no me voy a detener porque ya habrán escuchado muchas veces hablar de ello.

Como instancia posterior a esa conceptualización, en el acto de la comparación, el hombre pudo distinguir diferencias entre las propiedades de los objetos en cuestión. Por ejemplo: si lo que se quiere comparar es la longitud de dos hilos, se puede decir “este es más largo o menos largo que este otro”. Pero estas expresiones no permiten precisar demasiado. Una expresión más precisa es “el primero corresponde a dos veces el segundo”. Eso también tiene una dificultad, si queremos compararlo con un hilo que no tenemos en ese momento, no lo podemos hacer.

Un acto importante en la historia fue cuando el hombre se dio cuenta que para comparar dos objetos podía hacerlo indirectamente a través de un tercer objeto usado como medida estándar o unidad de medida. Esto solucionaría el hecho de poder comparar cosas que no se encuentran en el mismo lugar, por ejemplo, siempre que podamos llevar la unidad de medida con uno. Como sabemos, al hablar de longitud, las primeras unidades de medida fueron el pie, el pulgar, el brazo, etc., de las cuales todavía conservamos la denominación en el sistema de medida inglés.

Este hecho permitió que se introdujera la objetividad en el acto de comparar. Su significado literal es “acuerdo interpersonal". Si las observaciones se pueden cuantificar de alguna manera, expresarlas en términos de valores, es posible que la comunicación evite interferencias de la particularidad de cada individuo. De esta manera, tanto en la vida cotidiana como en cualquier trabajo que requiera objetividad y precisión, se plantea de qué manera se puede cuantificar o dar valores numéricos a lo que se está observando, es decir cómo medir lo que se está observando. Ya teniendo las mediciones se pueden comparar los valores resultantes y obtener conclusiones. Las mediciones permiten que las descripciones puedan ser comunicadas a otros de manera concreta y objetiva. [GE] 

Una definición de medición es la siguiente:

1.0. Medir

La palabra medir es un verbo que tiene origen del latín “metiri” y hace referencia al acto de comparar una cantidad determinada de algo con una unidad de medida, en donde se establece cuántas veces esta unidad ocupa un lugar dentro de dicha cantidad.

Definición de medir: Determinar la longitud, volumen, extensión, o capacidad de una cosa por comparación con una unidad de medida establecida que es utilizada como referencia, usualmente mediante algún instrumento graduado con dicha unidad.

Unidad de medida

Por otro lado, dentro de lo que concierne al término medir, encontramos el concepto de unidad de medida. La unidad de medida es el patrón a seguir para realizar la medición.

Debe cumplir ciertas condiciones, las cuales son:

1. Una unidad debe de ser universal
2. Una unidad debe ser de fácil reproducción
3. Una unidad debe ser inalterable

Medidas directas y sus diferentes errores

Llamamos medida directa cuando se tiene a disposición un instrumento que calcule una medida determinada. A su vez, la medida directa puede presentar diferentes errores: (serán desarrollados en otras publicaciones)

• Error absoluto
• Error relativo
• Error estándar

Además, un error tiene origen sistemático o aleatorio, dependiendo de la regularidad con la que ocurre dicho error a la hora de medir. (serán desarrollados en otras publicaciones)

 

Medidas tradicionales

Pulgada: Equivale al ancho que tiene un pulgar.

Pie: En la antigüedad un pie se refería, como medida, al largo que tenía el mismo. Sin embargo, hoy en día equivale a doce pulgadas.

Yarda: Para obtener una yarda, el objeto a medir debe tener una longitud desde la nariz hasta el dedo medio.

Braza: Su nombre nos remite al brazo y no estaremos errados si lo relacionamos con éste, ya que una braza va desde la punta del dedo medio hasta el brazo.

Palmo: En relación a las palmas de las manos.

Codo: Largo del antebrazo.

Milla: Su origen se remite a Roma, cuando ésta unidad de medida equivalía a dos mil pasos.

Legua: Volvemos a Roma, en donde la legua equivalía a una milla y media, es decir 3000 pasos. En la actualidad equivale, según la zona geográfica, hasta siete kilómetros.

 

Definición 1.1. Medición es una asignación de números a objetos o eventos de acuerdo a reglas establecidas.

La posibilidad de medir permitió a otras ciencias o aplicaciones tecnológicas a utilizar la matemática como lenguaje universal. Este lenguaje brinda precisión, sistematización, objetividad y una manera de comunicación de los resultados obtenidos en forma concreta para ser analizados.

Transcribo a continuación la frase con la cual comienza el libro del Profesor en Psicología J. P. Guilford de la Universidad de Southern California [G].

El progreso y la maduración de una ciencia es juzgada a menudo por la amplitud en la cual ha tenido éxito en el uso de la matemática.

Una pregunta que surge es ¿cómo podemos medir cosas que no vienen en forma de números? ¿cómo podemos asignar números a objetos o eventos? La naturaleza, como la conocemos, tiene propiedades que pueden ser representadas por estructuras lógicas de ciertos sistemas de la matemática. Cada individuo que pretenda medir un objeto o evento deberá estar atento a qué estrategia utilizar en cada situación particular.

De acuerdo a lo que hemos dicho el proceso de medición involucra (ver [MG]):

1. Abstracción: que capte la esencia de la propiedad a medir permitiendo asignar un valor numérico a cada objeto o evento que posea esa propiedad.

2. Estrategia: para poder obtener esos números efectivamente.

3. Aparato o sistema de medición: necesario para realizar la medición de acuerdo a la precisión que se desea obtener.

4. Unidad de medida o sistema de referencia: con su definición y su patrón.

5. Operador: quien determina si se han cumplido los criterios de observación para tomar las lecturas en la escala del instrumento.

Evidentemente la matemática aparece en el primer punto. ¿Por qué? Pues antes de poder medir hay que poder asignar, en forma teórica, a cada objeto el número que refleje la propiedad específica de ese objeto. Es decir, la manera en que se podrá obtener una función a valores numéricos, que cuantifique esa propiedad. Esa función es, en principio como dijimos, teórica.

Ejemplo 1. La función “medida de la altura de las personas de esta sala”. No quiere decir que hayamos medido efectivamente a cada persona, pero sabemos qué número asignar que refleje esa propiedad en cada persona de esta sala: por ejemplo, el número que se obtenga al determinar la longitud del segmento perpendicular al piso que une el piso con el punto más alto de la cabeza de la persona.

En ese proceso hemos dado sentido en abstracto a la altura como la longitud de un segmento específico. El segundo punto, la estrategia para obtenerlo en concreto, también involucra el ingenio y la matemática.

Ejemplo 2. ¿cómo harían ustedes para medir el mástil de la escuela que está en el patio sin tocarlo?

En este caso, ya sabemos que significa el número que representa la altura, pero no es sencillo obtenerlo directamente porque no nos podemos subir al mástil para tirar desde la punta de arriba el metro, incluso es posible que este no nos alcance. ¡¡¡Aquí también tendremos que hacer uso de las matemáticas!!! ¿cómo Podrían planteárselo a sus alumnos?... les recomiendo que salgan al patio un día de sol.

Ejemplo 3. Este lo leí del conocido libro “Matemática ¿estás ahí?” de Adrián Paenza, gran divulgador de la matemática y de las ciencias en general. El problema consiste en medir la cantidad de peces que hay en un lago. Como va a ser imposible dar un valor que refleje la realidad con exactitud, sólo se pretende dar un valor aproximado como respuesta. ¿Cómo podemos hacerlo? La dificultad está en elegir la estrategia a usar que nos lleve a alguna respuesta con sentido. Una estrategia es la siguiente, podría haber otras. En una lancha y con una red de pescadores sacamos una cantidad de peces, digamos 1000, cuidando que no se mueran. De alguna manera los marcamos y los devolvemos al agua. Dejamos un tiempo razonable para que esos peces se mezclen con el resto de los peces del lago y volvemos a sacar la misma cantidad de peces. Contamos los que están marcados, supongamos 10 de los 1000, un 1 %.

Si la probabilidad de encontrar un pez marcado en la red (cantidad de marcados sobre total de peces) es 10/1000, esto nos dice que la cantidad de peces que marcamos (1000) es un 1 % del total de los peces del lago, suponiendo que se mezclaron en forma homogénea.

Conclusión: ¡una estimación del total de peces del lago es 100000!!!

 

Referencias

Enciclopedia de Conceptos (2018). "Medición". Recuperado de: https://concepto.de/medicion/

Fuente: https://concepto.de/medicion/#ixzz5Rgtk1wgg

[G] J. P. Guilford, Psychometric Methods, Ed. McGraw-Hill Book Company Inc., 1954.

[MG] A. Maiztegui y R. Gleiser, Introducción a las Mediciones de Laboratorio, Ed. Kapeluz, 1980.

[P] A. Paenza, Matemática ¿estás ahí?, http://www.dm.uba.ar.

[GE] Galina Esther (2007). Medir: origen de muchos conceptos matemáticos. Córdoba.

PARA REFLEXIONAR Y RESOLVER EN TU CUADERNO.

1- Coloca dentro un frasco una cantidad de granos. Diseña un experimento paso a paso en el cual puedas calcular la cantidad de granos dentro del frasco sin tocarlos.

2- Plantea las ventajas y desventajas de tu método para determinar la cantidad de granos dentro del frasco de vidrio.

3- ¿por qué en el texto se asegura que la matemática está en muchas áreas de nuestra vida, es posible una ciencia sin necesidad de matemáticas?

VER: ¿Qué es medición? (PARTEII)

Fórmula o Ecuación...alli el dilema

Historia

La civilización egipcia fue una de las primeras en utilizar ecuaciones matemáticas, pues para el siglo XVI ya aplicaban dicho sistema, para resolver problemas asociados con la repartición de alimentos, aunque no eran llamados ecuaciones, se podría decir que es el equivalente a la época actual. También los chinos poseían conocimientos de tales soluciones matemáticas, pues para principios de era escribieron un libro donde se planteaban diversos métodos para la resolución de ecuaciones de segundo y primer grado.

Durante la edad media las ecuaciones matemáticas tuvieron un gran impulso, pues éstas eran utilizadas como desafíos públicos entre los matemáticos expertos de la época. Para el siglo XVI dos importantes matemáticos realizaron el descubrimiento de utilizar números imaginarios para poder solucionar las ecuaciones de segundo tercero y cuarto grado. También en ese siglo Rene Descartes hizo famosa la notación científica, además de ello, en ese siglo se hizo público también uno de los teoremas más populares de las matemáticas “el último teorema de Fermat”. Durante el siglo XVII los científicos Gottfried Leibniz e Isaac Newton hicieron posible la solución de las ecuaciones diferenciales, lo que dio origen a una serie de descubrimientos que se dieron durante esa época con respecto a esas ecuaciones en específico.

Muchos fueron los esfuerzos que hasta principios del siglo XIX realizaron los matemáticos para encontrar la solución a las ecuaciones de quinto grado, pero todos fueron intentos fallidos, hasta que Niels Henrik Abel descubrió que no existe una fórmula general para calcular ecuaciones de quinto grado, también durante esta época la física utilizó ecuaciones diferenciales en ecuaciones integrales y derivadas, lo que dio origen a la física matemática. En el siglo XX se formularon las primeras ecuaciones diferenciales con funciones complejas utilizadas en la mecánica cuántica, las cuales tienen un amplio campo de estudio en teoría económica.

Las ecuaciones poseen un amplio uso, principalmente para mostrar las formas más exactas de las leyes matemáticas o físicas, las cuales expresan variables. Algunos ejemplos de la aplicación de las ecuaciones son las ecuaciones de estado, constitutivas y de movimiento.

Las ecuaciones se clasifican en ecuaciones algebraicas, éstas a su vez pueden ser de primero, segundo y tercer grado, diofánticas y racionales. Ecuaciones trascendentes, son aquellas en donde intervienen funciones de tipo trigonométrica, exponenciales, etc. Ecuaciones diferenciales, son dos las derivadas parciales y ordinarias. Por último, se encuentran las ecuaciones integrales y las funcionales.

Glosario:

• Ecuaciones lineales en una variable. Es una ecuación en la que aparece una variable elevada al exponente uno. La variable puede aparecer por más de una ocasión, por ejemplo, en la ecuación 5n – 3 = 3n + 1 es una ecuación de primer grado en una variable.
• 
  
• Ecuación de primer grado o ecuación lineal, es una igualdad que involucra una o más variables a la primera potencia y no contiene productos entre las variables, es decir, una ecuación que involucra solamente sumas y restas de una variable a la primera potencia.
• 
  
• Ecuación de segundo grado es una ecuación cuadrática de una variable que tiene la forma de una suma algebraica en términos cuyo máximo grado es dos. Es decir, está representada por un polinomio de segundo grado. Cuenta con una variable, denominada x, y tres constantes, que son a, b y c. La función está igualada a 0.
• 
  
• Incógnita de una ecuación, es el valor desconocido que se pretende determinar. La incógnita de una ecuación se suele expresar con la letra x. Las incógnitas de un sistema de ecuaciones se suelen expresar con las letras x, y, z.

¿diferencias entre ecuación y fórmula matemática?

Ecuación Matemática

Igualdad entre dos expresiones que contiene una o más variables.

"ecuación de segundo grado; 4 + 5x = 14 es una ecuación; las letras son las incógnitas, y resolver la ecuación consiste en descubrir el valor de dichas incógnitas que cumplen la igualdad"

¿Para qué sirven las ecuaciones?

 El planteamiento de un problema de la vida diaria requiere muchos casos para su solución, la representación de números reales mediante símbolos lo cual hace posible encontrar los valores específicos de dichos símbolos que satisfacen una relación de igualdad.

Partes de una ecuación

-Miembros: son las expresiones que aparecen a cada lado del signo igual (=)

-Términos: son los monomios de cada miembro.

-Incógnitas: Son las letras que aparecen en la ecuación.

-Grado de la ecuación: es el mayor exponente con que figura la incógnita (una vez realizadas todas las operaciones).

Ejemplo de cómo despejar X en una Ecuación

Tenemos esta ecuación: 2X + 3 = 13 X = 5.

Como el 3 está sumando a 2X se pasa a restar al lado del 13 (2X = 13 – 3)

Hacemos la resta (2x=10)

Necesitamos dejar a la X sola, 

entonces pasamos el 2 que está multiplicando a X, a dividir al 10 ( X = 10 / 2)

Ejemplos modelo para despejar x de una ecuación:

1)   2x - 34 = 120

1. Se hace la transposición de términos.

2x = 120 + 34

2. Se reducen los términos semejantes.

2x = 154

3. Se despeja la incógnita.

x =154/2

x= 77

2)   10x + 5 = 3x + 12

1. Se hace la transposición de términos.

10x - 3x = 12 - 5

2. Se reducen los términos semejantes.

7x = 7

3. Se despeja la incógnita.

x = 7/7

x = 1

3)   2(3x - 2) = 8

1. Se suprimen los paréntesis.

6x - 4 = 8

2. Se hace la transposición de términos.

6x = 8 + 4

3. Se reducen los términos semejantes.

6x = 12

3. Se despeja la incógnita.

x = 12/6

x= 2

4)   9(13 - x) - 4x = 5(21 - 2x) + 9x

1. Se suprimen los paréntesis.

117 - 9x - 4x = 105 - 10x + 9x

2. Se hace la transposición de términos.

- 9x - 4x + 10x - 9x = 105 - 117

3. Se reducen los términos semejantes.

- 12x = - 12

4. Se despeja la incógnita.

x = -12 / -12

x = 1

5)   2[3(x - 2) + 5(x - 3)] + x = - 8

1. Se suprimen los corchetes.

2(3x - 6 + 5x - 15) + x = - 8

2. Se suprimen los paréntesis.

6x - 12 + 10x - 30 + x = - 8

3. Se hace la transposición de términos.

6x + 10x + x = - 8 + 12 + 30

4. Se reducen los términos semejantes.

17x = 34

5. Se despeja la incógnita.

x = 34/17

x= 2

6)   (x + 2)² - x² = 60

1. Se suprimen los paréntesis desarrollando la potencia.

x² + 4x + 4 - x² = 60

2. Se hace la transposición de términos.

x² - x² + 4x = 60 - 4

3. Se reducen los términos semejantes.

4x = 56

4. Se despeja la incógnita.

x = 56/4

x= 14

Fórmula Matemática

Una fórmula es una secuencia o cadena de caracteres cuyos símbolos pertenecen a un lenguaje formal, de tal manera que la expresión cumple ciertas reglas de buena formación y que admite una interpretación consistente en alguna área de la matemática y en otros sistemas formales.

En Geometría, Estadística y otras ramas de las Matemáticas, una fórmula es una ecuación que relaciona constantes o variables matemáticas y que se expresa mediante una igualdad matemática.

Por ejemplo, el problema de determinar el volumen de los cuerpos geométricos, como los sólidos platónicos, o las relaciones métricas del triángulo, o las razones trigonométricas. El volumen de una esfera requiere cálculo integral para su resolución, según Arquímedes, puede calcularse mediante la fórmula que relaciona el volumen con el radio.

V=4/3.π.r³

En física, química y otras ciencias, una fórmula relaciona magnitudes físicas que pueden ser medidas, para calcular el valor de otras de muy difícil o de imposible medida. En un contexto general, nos suministran una solución matemática para un problema del mundo real. Una fórmula química expresa la relación de los elementos en una molécula o compuesto químico.

La expresión general de la segunda ley de Newton, que también puede expresarse como F = m. a, es aplicable a un rango muy amplio de situaciones físicas y nos permite calcular unas variables a partir de otras conocidas o predecir el comportamiento de un sistema físico. Los dos términos de una fórmula física deben tener la misma ecuación de dimensiones, es decir, poseer las mismas unidades de medida, o se pueden convertir en idénticas.

A menudo, las fórmulas van acompañadas de las correspondientes unidades pues las fórmulas científicas expresan relaciones entre magnitudes reales que son el resultado de medidas y que, por tanto, poseen unidades. En el ejemplo anterior de la esfera, si r = 2.0 cm, el resultado para el volumen será:                             V=4/3.π.r³                  V=4/3.π.(20 cm)³ = 33,51cm³        

¿Por qué usamos X cómo incógnita en los problemas de matemáticas?

Lo desconocido

El álgebra se desarrolló en Oriente Medio, durante la edad de oro de la civilización islámica medieval (750 a 1.258 dC), y su forma temprana se puede ver en la obra de Muhammad Al-Khwarizmi y su libro Kitab al-Jabr Wal- muqabala. Durante este apogeo, la cultura musulmana se propagó por la Península Ibérica, promoviendo el estudio de las matemáticas.

En una reciente charla TED, el director de The Radius Foundation Terry Moore, postula que el uso de la "x" se inició con la incapacidad de los estudiosos españoles de traducir ciertos sonidos árabes. Según Moore, la palabra para "lo desconocido" en árabe es Al-Shalan, y apareció muchas veces en trabajos matemáticos tempranos.

Los estudiosos españoles no tenían sonido correspondiente para "sh", así que tendieron a usar el sonido "ck", que en griego clásico que está escrito con el símbolo de la ji, X. Moore teoriza, como muchos otros antes que él lo han hecho, que, al traducirse más tarde al latín, el chi (X) fue reemplazado con la X latina.

La X de la X

El problema de esta teoría es que la X es un misterio en sí misma. Solo disponemos de teorías sin fundamentos históricos sólidos. No sabemos en realidad por qué la X significa lo que significa. ¿Cómo sabemos si la fonética fue tan determinante a la hora de traducir los textos? Con todo, la teoría de Terry Mooree es una de las más aceptadas por los investigadores.

La edición 1909-1916 del diccionario Webster, entre otros, también plantea una teoría similar, aunque afirmando que la palabra árabe para "cosa," singular "shei", fue traducido al griego "Xei", y más tarde acortado a X. Ali Khounsary también señala que la palabra griega para xenos (desconocido), también comienza con X, y la convención podría simplemente haber nacido de una abreviatura. Pero aquí, de nuevo, tenemos una falta de cualquier evidencia documentada directa para apoyar la teoría.

En cuanto a una teoría documentada, hemos de fijarnos en el filósofo y matemático René Descartes (1596-1650), que parece un fomentador de esta práctica, tal y como señala el trabajo de Florian Cajori, A History of Mathematical Notations (1929). Concretamente, en su obra La Géométrie (1637), Descartes plantea la notación simbólica mediante la convención de usar las letras minúsculas del principio del alfabeto para cantidades conocidas (por ejemplo, A, B y C) y el uso de los al final del alfabeto para cantidades desconocidas (por ejemplo, Z, Y y X).

¿Por qué? ¿Y por qué x se usó más que y o z para las incógnitas? Nadie lo sabe. Parece que Descartes eligió arbitrariamente las letras para representar cosas diferentes en sus obras. Otra teoría, con menos respaldo, pero más romántica, es que los impresores de libros (se componían los libros colocando las letras tipográficas) sufrían escasez de algunas letras.

Es decir, la letra a, por ejemplo, se usaba en el texto normal y además en las ecuaciones, donde se repetía continuamente, lo que provocaba que escasearan las letras a en los cajones del impresor para componer las páginas. Así, preguntaron a Descartes si era necesario usar la a o podían usar otra. Descartes respondió que en las ecuaciones las letras no son más que símbolos y que cualquiera servía. Los impresores empezaron a usar las letras menos usadas en el idioma original del libro, el francés. Y ahí aparecieron las letras x, y y z.

FUENTE : extraído del portal web https://www.xatakaciencia.com

Los números (PARTE I)

La noción de número es tan primitiva como el propio hombre. Los hombres primitivos utilizaban los dedos, muescas en huesos... para expresar cantidades: un mamut, una luna, un sol... empleando los NÚMEROS NATURALES.

Los babilonios (2100 a. C.) poseían una organización administrativa contable muy compleja, lo que motivó un desarrollo importante en los sistemas numéricos. Tenían un sistema de numeración base 60 perfectamente maduro. En él destacaba el valor posicional de las cifras, como en la actualidad. No utilizaban el cero, sino que dejaban un espacio en blanco, lo que inducía en muchas ocasiones a error; más adelante ya introdujeron un nuevo símbolo, parecido a una trompeta, que sustituía al espacio vacío y que podríamos considerar como cero.

A continuación, civilizaciones como la egipcia (2000 a. C.), empezaron a utilizar expresiones que representaban las fracciones, apareciendo así los NÚMEROS FRACCIONARIOS, eso sí, muy básicos y generalmente con el 1 como numerador.

En el siglo V a. C. los griegos encontraron otro tipo de números que eran la solución de determinadas ecuaciones y que no tenían fin, eran algo se le escapaba al razonamiento humano, eran los NÚMEROS IRRACIONALES.

Hubo que esperar al siglo XVII para empezar a considerar los NÚMEROS NEGATIVOS. El propio Descartes denominaba soluciones falsas a las raíces negativas de una ecuación, aunque es cierto que civilizaciones como la China parece que ya los conocían, colocando bolas rojas en los ábacos, simbolizando a los números negativos (de ahí que muchas veces oímos la expresión de números rojos).

La aparición de soluciones como "raíz cuadrada de menos cuatro" no podían ser interpretadas de ninguna manera. Hubo que esperar al siglo XIX, cuando ya se le empezó a dar una fundamentación teórica y a representarlo gráficamente, momento en el que se comenzó a hablar de números imaginarios.

Fuente: http://www.aulamatematica.com/ESO2/01_jer/2ESO_index01.htm

Los números  Romanos

El Imperio romano difundió en toda Europa, norte de África y Asia occidental su propio sistema de numeración, que todavía se utiliza en algunos contextos especiales. Este sistema, de base decimal, utiliza letras como símbolos de varias unidades elementales (I para 1;V para 5; X para 10; L para 50; C para 100; D para 500 y M para 1.000). 

El sistema romano resultaba muy práctico para realizar sumas y restas, aunque no multiplicaciones y divisiones. Por ello, aun cuando se conserva para indicar ciertas cantidades (por ejemplo, años), desde el Renacimiento fue desplazado por el sistema indo-arábigo.

Curiosidad matemática: 

Estamos tan acostumbrados a usar los signos matemáticos (+) para sumar o (-) para restar, que nos da la impresión de que se usan desde siempre, pero nada más alejado de la realidad. Griegos y árabes no tenían signos para expresar estas operaciones matemáticas y debían usar expresiones escritas. 

"Más tarde, los griegos, los hindúes y el matemático alemán Jordanus Nemorarius empezaron a indicar la suma mediante yuxtaposición, mientras que los italianos la denotaban con las letras P o p atravesadas con una raya, pero estos símbolos no eran uniformes. Ciertos matemáticos utilizaban la p, otros la e, y el italiano Niccolò Tartaglia solía expresar esta operación como Æ."

Como ven, todo era un enredo. Hasta que finalmente Johann Widmann en el año 1489 consiguió reunificar algunas cuestiones matemáticas, como estos signos de sumar y restar, consiguiendo que poco a poco todo el mundo usase el + y el - para identificar las sumas y las restas. Ya vemos que en un año no tan atrás como se podría pensar a primera vista, en 1489.

Clasificación de los números 

Los números naturales: son los que utilizamos en la vida cotidiana para contar u ordenar. El conjunto de los números naturales se representa por ℕ y está formado por:

ℕ = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, ...}

Números enteros:

Son todos los números naturales y sus opuestos, es decir, los números enteros positivos y negativos.

Z = { 1 , -1 ,2 , -2 , 3 , -3 , 4 , -4... } 

*Nosotros consideramos que 0 es un número natural, aunque no todos los autores están de acuerdo.

Los números Trascendentes (T): son un subconjunto de los números irracionales y algunos racionales, que expresan relaciones matemáticas muy importantes, como la relación entre la circunferencia y el radio, el número pi (π).

π = 3.14159265358979323846… (pi);
φ = 1.618033988749894848204586834365638117720309… (fi o número aureo)
ε = 2.7182818284590452353602874713527… (número de Euler)

Los números complejos conforman un grupo de cifras resultantes de diversas operaciones matemáticas entre un número real y uno de tipo imaginario.

El lenguaje universal de los números

Con respecto al sistema romano, el indo-arábigo proporciona indudables ventajas en el plano práctico y conceptual: 

• Se crea a partir de una notación sencilla, basada en el uso de diez guarismos, entre los que se incluye el cero, y conceptualmente rica, por la idea del valor posicional de los numerales.

• Permite simplificar de forma muy notable las operaciones aritméticas de multiplicación y división, sin complicar las de suma y resta.

• Resulta adecuado para los desarrollos de la matemática moderna.Por todo ello, el sistema indo-arábigo se ha impuesto progresivamente en todas las culturas del mundo, hasta el punto de que en la actualidad constituye un lenguaje escrito universal comprendido por todos los seres humanos, que utiliza una misma grafía incluso en idiomas cuyos alfabetos son diferentes (latino, cirílico, alfabetos orientales, etcétera).

observa los sistemas de numeración de diversas culturas:

SISTEMA DE NUMERACIÓN MAYA 

SISTEMA DE NUMERACIÓN GRIEGO

SISTEMA DE NUMERACIÓN EGIPCIO 1

SISTEMA DE NUMERACIÓN EGIPCIO 2

SISTEMA DE NUMERACIÓN ROMANO

SISTEMA DE NUMERACIÓN CHINO

El sistema decimal 

El sistema decimal, el más utilizado en todos los ámbitos de la actividad humana, se distingue por las siguientes características: 

• Utiliza una base 10.
• Sus numerales son las cifras del 0 al 9, ambas incluidas.
• Las posiciones relativas de los números se denominan unidades, decenas, centenas, unidades de millar, decenas de millar, centenas de millar, unidades de millón, etc.

El sistema binario

Utilizado por los ordenadores y otros tipos de dispositivos y sistemas, el sistema binario se caracteriza por emplear una base 2 y los numerales 0 y 1. 

Este sistema, muy práctico para los cálculos automatizados con sistemas electrónicos digitales, es sin embargo un tanto engorroso en la escritura cotidiana, ya que la expresión de las cantidades resulta muy larga. Así, por ejemplo, el número 15 de la base decimal se expresaría en base binaria como 1111, según el esquema de descomposición mostrado.

Para reflexionar y realizar en tu cuaderno:
0-Descarga el siguiente PDF SISTEMA DE NUMERACIÓN DECIMAL y resuelve en tu cuaderno.

1- realiza una linea del tiempo sobre la historia de los números.

2-según tu número de lista, realizaras un trabajo de investigación que enviaras vía email al profesor (seguir las instrucciones del docente, podrá ser individual o en pareja)  

1 sistema de numeración de los mayas 

2 sistema de numeración de los incas

3 sistema de numeración de los egipcios 

4 sistema de numeración de los babilonios 

5 sistema de numeración de los romanos 

6 sistema de numeración de los griegos

7 sistema de numeración de los chinos 

8 sistema de numeración de los coreanos

9 sistema de numeración de los japoneses

10 sistema de numeración de los persas

11 sistema de numeración hindú 

12 sistema de numeración tibetano 

13 sistema de numeración de turco

14 sistema de numeración arábigo

15 sistema de numeración ordinal 

16 número de Euler

17 número de oro 

18 número pi 

19 El sistema binario

20 El sistema decimal 

NOTA: * LOS MEJORES TRABAJOS SERÁN PUBLICADOS EN ESTE BLOG COMO REFERENCIAS.